समबाहु त्रिभुज के अंतः वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा? - samabaahu tribhuj ke antah vrtt ka kshetraphal kya hoga?

यदि एक समबाहु त्रिभुज के अंतः-वृत्त का क्षेत्रफल 144π वर्ग मीटर है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

1. 448√3 सेमी2
2. 452√3 सेमी2
3. 461√3 सेमी2
4. 432√3 सेमी2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 432√3 सेमी2

दिया गया है:

वृत्त का क्षेत्रफल = 144π 

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

समबाहु त्रिभुज की अंतः त्रिज्या = a/2√3

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3 /4 a2

गणना:

πr2 = 144π 

⇒ r = 12 सेमी

∴ a/2√3 = 12

⇒ a = 24√3 सेमी

क्षेत्रफल = √3/4 (24√3)2

⇒ क्षेत्रफल = 432√3 सेमी2

∴ क्षेत्रफल 432√3 सेमी2 है 

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हाय फ्रेंड से आपस में दिया हुआ है संभव त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 14 रूट 3 सेंटीमीटर है अंतः वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें लेकिन यहां पर मुझे क्या हुआ है कि एक समबाहु त्रिभुज है उसके अंदर एक अंतरित बना हुआ है तो देखिए यह मैंने एक समबाहु त्रिभुज बना लिया ठीक है अब मुझे यहां पर आना है ठीक है अभी त्रिभुज कनखी संभव त्रिभुज है तो इसकी सारी भुजाएं बराबर बना हुआ है उसका केंद्र मैंने कहा यह है आपका ठीक है इस केंद्र से अगर मैं आपसे कहूं यह जुदाई है यह क्या होगा क्षेत्रफल निकालने के लिए बोला गया है अगर की वैल्यू पता चल जाए

एक भुजा की लंबाई होती है ना उसके लिए होती है इसमें क्या होता है यह क्या होता है 2 * रूट 3 * त्रिज्या होती है ठीक है दो-तीन पुणे त्रिज्या विजय कुमार के लिए बहुत इंपॉर्टेंट है बराबर कितना दे रखा है 14 रूट 3 सेंटीमीटर मुझे लंबाई पता है इसकी संभावना तो मुझे पता चल जाए

तो आर यहां से क्या हो जाएगा देखें अगर मैं आपसे कहूं कि ए रिलेशन हम यूज कर सकते हैं यह सम्मान दिया जाएगा और बराबर यहां से हो जाएगा ए बटे दो गुरु ट्रेन टिकट कितना है 14 रूटीन रूटीन रूटीन रूटीन कट गया और 2 से 14 बटा 4 बराबर 7 सेंटीमीटर बराबर आ गया 7 सेंटीमीटर अब देखे क्षेत्रफल क्षेत्रफल क्या होता है पाई आर स्क्वायर यूनीकीफाई * त्रिज्या का वर्ग 2 पाई बराबर में क्या लिख सकता हूं 22% और यहां पर कितना है साथ है तो 7 का वर्ग है तमिल के साथ सब एक साथ चाहिए साथ कावर वाला एक चला गया भाई सोने 7:00 बजा अब अगर इसमें साथ का गुड़ा कर देता हूं ठीक है क्षेत्रफल 154 वर्ग

सेंटीमीटर यह मेरा आंसर हो गया तो ऑप्शन नंबर सी मेरा यहां पर संयुक्त है थैंक यू

इस सवाल में हमें दिया गया कि किसी समबाहु त्रिभुज के परिवेश तथा अंतरिक्ष के क्षेत्रफल का अंतर 44 सेंटीमीटर स्क्वायर है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना होगा तो माना कि त्रिभुज की भुजा हमारा 1 सेंटीमीटर ठीक है तू त्रिभुज की भुजा को हमने 1 सेंटीमीटर मान लिया तो अब हमारा परिवृत्त की त्रिज्या जाएगा परिवृत्त कच्चा होता हमारा पूजा पटेल उत्तरी ठीक है तो ओके हमारा एक बटे दो तीन और अंतर कब निकाले थे अंतः वृत्त का त्रिज्या होता है हमारा भुजा बटे 2 रूट 3 तो हो जाएगा मारा बर्थडे टू यू थ्री तू अब देखे हमारा प्रश्न के अनुसार हो क्या की परी अंतः वृत्त का क्षेत्रफल और परिवृत्त का क्षेत्रफल का अंतर है 44 वर्ग सेंटीमीटर तो

क्या मारा पाई एक बटे रूट 3 का कोई हमारा हो क्या परिवृत्त का क्षेत्रफल - अंतः वृत्त का क्षेत्रफल हो गया बाइ ए बर्थडे टू रूट 3 का स्क्वायर बराबर 44 वर्ग सेंटीमीटर तो क्या हमारा 5 ईयर बटे 3 - 1 बटा 12 = टू 44 सेंटीमीटर तो यहां से आ जाएगा हमारा 3 स्क्वायर बटा 12 बराबर 14 तो अब हम निकाल लेंगे यहां से या क्या हमारा 14 गुने 12 बटे तीन करो ठीक है रूट अंडर 14 * 12 बटा 3 तो क्या मारा 2 रूट 14 सेंटीमीटर अब तक हमारे पास समबाहु त्रिभुज का भुजा आ गया तो अब हम इसका क्षेत्रफल निकाल सकते समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होता हमारा रूट 3 बटे 4 का रूट 3 बटा

4 गुने पूजा का स्क्वायर तो भुजा यहां पर अभी हमने निकाला ए = 2 रूट 14 सेंटीमीटर इसका स्क्वायर हो जाएगा तो यार क्या हमारा 14 रूट 3 वर्ग सेंटीमीटर तो यह देखें कि हमारा ऑप्शन सी में है कैंसर हो क्या मारा सी

Answer : 72.7 सेमी.

Solution : मान लीजिये, अन्त: वृत्त की त्रिज्या r है | <br> क्षेत्रफल `=154" सेमी."^(2)impliespir^(2)=154impliesr=7` सेमी. <br> मान लीजिये, त्रिभुज की ऊँचाई h है <br> `:." "r=(h)/(3)impliesh=3r=21` सेमी. <br> यदि त्रिभुज की भुजा a है, तो <br> `h=(sqrt(3))/(2)aimpliesa=(2h)/(sqrt(3))=(42)/(sqrt(3))=14sqrt(3)` सेमी. <br> अत: परिमाप `=3a=3xx14sqrt(3)` सेमी. `=72.7` सेमी.

समबाहु त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) ज्यामिति की एक आकृति है जिसकी कोई तीनो भुजाएं व तीनो कोण समान हों।

गुण[संपादित करें]

• समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएं समान होती हैं।
• सभी अंतः कोण समान होते है।
• किसी भी भुजा का लम्बार्द्धक सम्मुख कोण को समद्विभाजित करता है।
• किसी भी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर डाला गया लम्ब उस भुजा को समद्विभाजित करता है।
• समबाहु त्रिभुज का केन्द्रक (सेन्ट्रॉड), अन्तःकेन्द्र incentre), परिकेन्द्र (circumcenter), लम्बकेन्द्र (orthocentre) सब एक ही बिन्दु पर होते हैं।

प्रमुख सूत्र[संपादित करें]

माना कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई a है, बौधायन प्रमेय का उपयोग करने पर हमे निम्न मान प्राप्त होते हैं:

समबाहु त्रिभुज में लम्ब, कोण समद्विभाजक, भुज समद्विभाजक और माध्यिकाएं सभी सन्निपतित होते हैं।

निस्र्पण (वर्णन)[संपादित करें]

त्रिभुज ABC जिसकी भुजाएं क्रमश a, b, c, हैं अर्द्धपरिमाप s है, क्षेत्रफल T, अंतर्वृत्त और परिवृत्त की त्रिज्याएँ क्रमशः ra, rb, rc (क्रमशः a, b, c के स्पर्शिय) हैं, तथा जहाँ R व r क्रमशः परिवृत्त और अंतर्वृत्त की त्रिज्याएँ हैं समबाहु होगा यदि और केवल यदि निम्न आठ कथनों में से कम से कम एक सत्य है। ये सभी समबाहु त्रिभुज के गुणधर्म भी हैं।

भुजा[संपादित करें]

अर्द्धपरिमाप[संपादित करें]

कोण[संपादित करें]

क्षेत्रफल[संपादित करें]

परिवृत्त, अंतर्वृत और परित्रिज्याएँ[संपादित करें]

समान प्रतिच्छेदी[संपादित करें]

त्रिभुज में तीन प्रकार की प्रतिच्छेदी रेखायें होती हैं जो समबाहु त्रिभुज में समान होती हैं।[8]

• तीनों ऊँचाइयाँ समान लम्बाई की है।
• तीनों माध्यिकाओं की लम्बाई समान होती है।
• तीनों कोण समद्विभाजकों की लम्बाई समान होती है।

अंतर्वृत्त त्रिभुज का केन्द्र[संपादित करें]

समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक त्रिभुज केन्द्र इसके केन्द्रक के साथ सन्निपतित होता हैं और कुछ त्रिभुज केन्द्रों के सन्निपतित होना इसकी उपपत्ति के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज समबाहु है। विशेष रूप से यदि परिवृत्त केन्द्र, अंतर्वृत्त केन्द्र, केन्द्रक, लम्ब केन्द्र आदि में से कोई दो सन्निपतित होते हैं तो वह त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।[9][1]

माध्यिकाओं के विभाजन से निर्मित त्रिभुज[संपादित करें]

किसी भी त्रिभुज के लिए, तीनों माध्यिकाओं के विभाजन से छः छोटे त्रिभुज बनते हैं।

• एक त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि तीन छोटे त्रिभुज या तो समान परिमाप रखते हैं अथवा समान अंतर्वृत्त त्रिज्या।[10]:प्रमेय 1

• एक त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि किन्हीं तीन छोटे वृत्तों के परिवृत्तों के केन्द्र केन्द्रक से समान दूरी पर हों।[10]:उपप्रमेय 7

ज्यामितिय रचना[संपादित करें]

परकार और पटरी की सहयता से समबाहु त्रिभुज का निर्माण

एक समबाहु त्रिभुज की रचना निर्मेय के साथ आसानी से की जा सकती है। इसके लिए एक सीधी रखा खींचो और परकार का एक छोर रेखा के अन्त में रखो, अब प्रकार के दूसरे छोर को रेखा के दूसरे बिन्दु अन्त तक बढ़ाओ और एक चाप के रूप में परकार को घुमाओ। समान प्रक्रिया दूसरे बिन्दु पर भी दोहराओ। अन्ततः इस रेखा के दोनों अन्त बिन्दुओं को चापों के काट बिन्दु से सीधे जोडो।

वैकल्पिक विधि:

एक वृत्त का निर्माण करो जिसकी त्रिज्या r है, इस वृत्त के किसी भी बिन्दु पर परकार की सुई रखो और समान त्रिज्या का दूसरा वृत्त बनाओ। दोनो वृत्त दो बिन्दुओं पर एक दूसरे को काटते हैं। इन दोनों बिन्दुओं में से किसी एक को दोनो वृत्तों के केन्द्रों से मिलाने तथा दोनों वृत्तों के केन्द्रों को आपस में मिलाने पर समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।

इसकी उपपत्ति की यह त्रिभुज समबाहु होगा यूक्लिडिय अवयव की पुस्तक के प्रथम भाग में मिल सकता है।

समाज और संस्कृति में[संपादित करें]

मानव निर्मित कार्यों में कई स्थानों पर समबाहु त्रिभुज के समान रचना की जाती है:

• कुछ पुरातत्व स्थल समबाहु त्रिभुज के समरूप है जैसे सर्बिया के लेपेंस्की विर।

ये भी देखें[संपादित करें]

• समकोण त्रिभुज
• त्रिकोणमिति
• समद्विबाहु त्रिभुज
• विषमबाहु त्रिभुज

सन्दर्भ[संपादित करें]

1. ↑ अ आ इ ई Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 70, 113-115.
2. ↑ अ आ इ Pohoata, Cosmin, "A new proof of Euler's inradius - circumrdius inequality", Gazeta Matematica Seria B, no. 3, 2010, pp. 121-123, [1] Archived 2015-01-13 at the Wayback Machine.
3. ↑ M. Bencze, Hui-Hua Wu and Shan-He Wu, "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications", Research Group in Mathematical Inequalities and Applications, Volume 11, Issue 1, 2008, [2] Archived 2015-02-03 at the Wayback Machine
4. ↑ G. Dospinescu, M. Lascu, C. Pohoata & M. Letiva, "An elementary proof of Blundon's inequality", Journal of inequalities in pure and applied mathematics, vol. 9, iss. 4, 2008, [3] Archived 2016-03-03 at the Wayback Machine
5. ↑ Blundon, W. J., "On Certain Polynomials Associated with the Triangle", Mathematics Magazine, Vol. 36, No. 4 (Sep., 1963), pp. 247-248.
6. ↑ अ आ Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B., When less is more. Visualizing basic inequalities, Mathematical Association of America, 2009, pp. 71, 155.
7. ↑ Cam McLeman & Andrei Ismail, "Weizenbock's inequality", PlanetMath, [4] Archived 2012-02-18 at the Wayback Machine.
8. ↑ Byer, Owen; Lazebnik, Felix and Smeltzer, Deirdre, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 36, 39.
9. ↑ Yiu, Paul, Notes on Euclidean Geometry, 1998, p. 37, [5][मृत कड़ियाँ]
10. ↑ अ आ "Cˇerin, Zvonko, "The vertex-midpoint-centroid triangles", Forum Geometricorum 4, 2004: pp. 97–109" (PDF). मूल से 18 जून 2013 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 6 जुलाई 2013.

बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर समबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज के अंतः वृत्त का क्षेत्रफल कितना होता है?

समबाहु त्रिभुज के अंतः वृत्त की त्रिज्या क्या होती है?

एक समबाहु त्रिभुज के अंतः वृत्त का क्षेत्रफल 462 वर्ग सेंटीमीटर है इस त्रिभुज का परिमाप क्या होगा?

अंतः वृत्त का क्षेत्रफल कितना होता है?