Gujarat Board Statistics Class 11 GSEB Solutions Chapter 5 आवृत्ति वितरण की विषमता Ex 5 Textbook Exercise Questions and Answers. विभाग – A निम्न विकल्प के लिए सही विकल्प का चयन कीजिए । प्रश्न 1. प्रश्न 2. प्रश्न 3. (A) वितरण (i) और (ii) दोनों समान प्रमाण में विषमतावाला है । प्रश्न 4. (A) आवृत्ति वितरण A संमित, आवृत्ति वितरण B ऋण विषम और आवृत्ति वितरण C धन विषम प्रश्न 5. प्रश्न 6. प्रश्न 7. प्रश्न 8. प्रश्न 9. प्रश्न 10. प्रश्न 11. प्रश्न 12. प्रश्न 13. प्रश्न 14. विभाग – B निम्न प्रश्नों के उत्तर एक वाक्य में दीजिए । प्रश्न 1. प्रश्न 2. प्रश्न 3. प्रश्न 4. प्रश्न 5. प्रश्न 6. प्रश्न 7. प्रश्न 8. प्रश्न 9. प्रश्न 10. प्रश्न 11. प्रश्न 12. प्रश्न 13. प्रश्न 14. प्रश्न 15. प्रश्न 16. प्रश्न 17. विभाग – C निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रश्न 1.
प्रश्न 2. (ii) ऋण विषमता में औसत के माप : प्रश्न 3.
प्रश्न 4.
प्रश्न 5. प्रश्न 6. प्रश्न 7. प्रश्न 8. प्रश्न 9. प्रश्न 10. प्रश्न 11. j = \(\frac{\mathrm{Q}_3+\mathrm{Q}_1-2 \mathrm{M}}{\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1}\) प्रश्न 12. प्रश्न 13. प्रश्न 14. प्रश्न 15. विभाग – D निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रश्न 1. जब आवृत्ति वितरण में एक से अधिक भूयिष्ठक हो तब कार्लपियर्सन का विषमता और विषमतांक ज्ञात करने के लिए अनुमानितता युक्त सूत्र का उपयोग करेंगे । MO = 3M – 2\(\overline{\mathrm{X}}\) प्रश्न 2. प्रश्न 3. प्रश्न 4. धन विषमता और ऋण विषमता का अंतर :
प्रश्न 5. समष्टि A समष्टि B प्रश्न 6. j = 0.33 समष्टि B का विषमतांक समष्टि A से अधिक है इसलिए समष्टि B विषमता के अधिक समीप है अर्थात् B विषम है । प्रश्न 7. प्रश्न 8. ∴ j = \(\frac{\overline{\mathrm{X}}-\mathrm{M}_0}{\mathrm{~S}}\) प्रश्न 9. j = – 0.15 प्रश्न 10. -0.60 × 10 = 3(60 – M) = \(\frac{-6}{3}\) = 60 – M – 2 + M = 60 ∴ M = 60 + 2 ∴ M = 62 प्रश्न 11. यहाँ SK = 8 और j = \(\frac{4}{6}\), \(\overline{\mathrm{X}}\) = 64 दिया है । ∴ C.V. = 18.75 प्रश्न 12. प्रश्न 13. विभाग – E निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रश्न 1.
प्रश्न 2.
प्रश्न 3.
प्रश्न 4. प्रश्न 5.
प्रश्न
6. उत्तर : कार्लपियर्सन की पद्धति में पेढ़ी A से B अधिक विषम है । बाउली की पद्धति में पेढ़ी A से पेढ़ी B अधिक विषम है । प्रश्न 7. उत्तर : आवृत्ति वितरण में द्वि भूयिष्ठक है इसलिए विषमतांक ज्ञात करने के लिए माध्य, मध्यका और प्रमाप विचलन की गणना करेंगे । प्रश्न 8. उत्तर : आवृत्ति वितरण एक भूयिष्ठिकवाला है इसलिए विषमतांक ज्ञात करने के लिए माध्य, भूयिष्ठक और प्रमाप विचलन की गणना करेंगे । माध्य \(\bar{X}\) = A + \(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\mathrm{n}}\) = 22 + \(\frac{-43}{50}\) = 22 – 0.86 ∴ \(\bar{X}\) = 21.14 इकाई महत्तम आवृति 18 के अनुरूप अवलोकन 20 है । इसलिए भूयिष्ठक 20 है । ∴ MO = 20 इकाई प्रमाप विचलन S = \(\sqrt{\frac{\Sigma \mathrm{fd}^2}{\mathrm{n}}-\left(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\mathrm{n}}\right)^2}\) = \(\sqrt{\frac{173}{50}-\left(\frac{-43}{50}\right)^2}\) = \(\sqrt{3.46-(-0.86)^2}\) = \(\sqrt{3.46-0.7396}=\sqrt{2.7204}\) ∴ S = 1.65 इकाई विषमतांक j = \(\frac{\bar{X}-M_0}{S}=\frac{21.14-20}{1.65}=\frac{1.14}{1.65}\) ∴ j = 0.69 प्रश्न 9. j = \(\frac{3(\bar{X}-M)}{S}\) विभाग – F निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए । प्रश्न 1. उत्तर : बाउली की पद्धति में तृतीय चतुर्थक, द्वितीय चतुर्थक और प्रथम चतुर्थक ज्ञात करेंगे । इसके लिए आवृत्ति वितरण को चढ़ते । क्रममें गठित करेंगे और संचयी आवृत्ति cf की सारणी बनायेंगे ।
प्रथम चतुर्थक Q1 = \(\frac{n+1}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य प्रश्न 2. उत्तर : मध्यमूल्य दिया है उस पर से मूल आवृत्ति वितरण प्राप्त करके आवृत्ति वितरण में वर्गलम्बाई असमान है । कार्लपियर्सन का विषमतांक ज्ञात करने के लिए माध्य, माध्यिका और प्रमाप विचलन ज्ञात करेंगे । M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य = \(\frac{365}{2}\) = 182.5 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर 182.5 के अनुरूप M वर्ग = 14 – 22 प्राप्त होगा। ∴ M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) × c जहा L = 14, \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) = 182.5 cf = 165, f = 125, c = 8 M = 14 + \(\frac{182.5-165}{125}\) × 8 = 14 + 17.5 × 8 = 14 + \(\frac{140}{125}\) = 14 + 1.12 M = 15.12 सेल्सियस विषमतांक j = \(\frac{3(\overline{\mathrm{X}}-\mathrm{M})}{\mathrm{S}}=\frac{3(14.89-15.12)}{7.95}\) = \(\frac{3(-0.23)}{7.95}=\frac{-0.69}{7.95}\) = – 0.087 ∴ j = – 0.09 आवृत्ति वितरण में ऋण विषमता है । प्रश्न
3. उत्तर : आवृत्ति वितरण द्वि भूयिष्ठकवाला है इसलिए माध्य, मध्यका और प्रमाप विचलन की गणना करें । मध्यका M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य मध्यका M = \(\frac{120}{2}\) = 60 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर M वर्ग 30-40 प्राप्त होगा। मध्यका M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) × c जहा L = 30, \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) = 60, cf = 55, f = 38, c = 10 = 30 + \(\frac{60-55}{38}\) × 10 = 30 + \(\frac{50}{38}\) = 30 + 1.32 ∴ M = 31.32 नंबर j = \(\frac{3(\overline{\mathrm{X}}-\mathrm{M})}{\mathrm{S}}=\frac{3(31.42-31.32)}{11.68}\) = \(\frac{3(0.1)}{11.68}=\frac{0.3}{11.68}\) ∴ j = 0.026 आवृत्ति वितरण संमितता के समीप है । प्रश्न 4. उत्तर : आवृत्ति वितरण खुल्ले शिरावाला है इसलिए बाउली की पद्धति से विषमतांक ज्ञात करेंगे इसके लिए Q3 M, Q1 ज्ञात करेंगे ।
प्रथन चतुर्थक Q1 = \(\frac{n}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य आवृत्ति वितरण में ऋण विषमता है । प्रश्न 5. उत्तर : आवृत्ति वितरण मिश्र प्रकार का है इसलिए माध्य, मध्यका और प्रमाप विचलन की गणना करेंगे । माध्य \(\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\mathrm{n}}=\frac{742}{80}\) = 9.275 ∴ \(\bar{X}\) = 9.28 इकाई प्रमाप विचलन S = \(\sqrt{\frac{\Sigma \mathrm{fx}^2}{\mathrm{n}}-(\overline{\mathrm{X}})^2}\) = \(\sqrt{\frac{10430}{80}-(9.28)^2}\) = \(\sqrt{130.375-86.118}=\sqrt{44.257}\) ∴ S = 6.65 इकाई मध्यका M = \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य = \(\frac{80}{2}\) = 40 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर मध्यका वर्ग 4-8 प्राप्त होगा । ∴ M = L + \(\frac{\frac{\mathrm{n}}{2}-\mathrm{cf}}{\mathrm{f}}\) × c जहाँ L = 4, \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) = 40, cf = 30, f = 10, c = 4 M = 4 + \(\frac{40-30}{10}\) × 4 = 4 + \(\frac{40}{10}\) = 4 + 4 ∴ M = 8 इकाई विषमतांक j = \(\frac{3(\overline{\mathrm{X}}-\mathrm{M})}{\mathrm{S}}=\frac{3(9.28-8)}{6.65}\) = \(\frac{3 \times 1.28}{6.65}=\frac{3.84}{6.65}\) ∴ j = 0.58 विषमता SK = 3 (\(\overline{\mathrm{X}}\) – M) = 3 (9.28 – 8) = 3 × 1.28 ∴ SK = 3.84 प्रश्न 6. उत्तर : आवृत्ति वितरण ‘से कम’ प्रकार है इसलिए मूल आवृत्ति वितरण ज्ञात करके Q1, Q2 = M, Q3 ज्ञात करेंगे ।
प्रथम चतुर्थक Q1 = \(\frac{n}{4}\) वा अवलोकन मूल्य आवृत्ति वितरण में विषमतांक का मूल्य 0.037 प्राप्त हुआ है जो संमितता के अधिक समीप है । प्रश्न 7. उत्तर : आवृत्ति वितरण में वर्गलम्बाई असमान है इसलिए माध्य, मध्यका और प्रमाप विचलन ज्ञात करेंगे । माध्य \(\overline{\mathrm{x}}\) A + \(\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{n}\) = 12.5 – \(\frac{167}{51}\) = 12.5 – 3.27 = 9.23 पेकेट मध्यका M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य = \(\frac{51}{2}\) = 25.5 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर M वर्ग 3-5 . . M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) x c जहाँ L = 3, \(\frac{n}{2}\) = 25.5, cf = 15, f = 12, c = 2 M = 3 + \(\frac{25.5-15}{12}\) x 2 = 3 + \(\frac{10.5 \times 2}{12}\) = 3 + 1.75 ∴ M = 4.75 पेकेट j = 1.32 भूयिष्ठक के स्थान पर मध्यका का उपयोग करने से विषमतांक का मूल्य – 3 से + 3 के बीच आ सकता है । प्रश्न 8. उत्तर : बाउली का विषमतांक ज्ञात करने के लिए Q3, Q2, Q1 ज्ञात करेंगे ।
प्रथम चतुर्थक Q1 = \(\frac{n}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य ⇒ आवृत्ति वितरण में ऋण विषमता है। प्रश्न 9. उत्तर : आवृत्ति वितरण में एक भूयिष्ठक है इसलिए \(\bar{x}\), MO, S ज्ञात करेंगे ।
माध्य \(\overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\mathrm{n}}=\frac{21600}{120}\) प्रश्न 10. उत्तर : बाउली का विषमतांक ज्ञात करने के लिए Q3, Q1, M ज्ञात करेंगे ।
मध्यका M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य विषमता के सूत्र (Formulae) (1) कार्लपियर्सन की पद्धति (Method of Karl Pearson) : अथवा (2) बाउली की विधि (Bowley’s Method) : विषमता क्या है इसके प्रकार?Explanation: अर्थशास्त्र और अनुबंध सिद्धांत में, सूचना विषमता (अंग्रेज़ी: information asymmetry) लेनदेन में निर्णयों के अध्ययन से संबंधित है जहां एक पक्ष के पास दूसरे की तुलना में अधिक या बेहतर जानकारी होती है। यह विषमता लेन-देन में शक्ति का असंतुलन पैदा करती है, जो कभी-कभी लेनदेन की असफलता का कारण बन सकती है।
विषमता का अर्थ क्या होता है?- 1. कठिनाई 2. असमान स्थिति 3. प्रतिकूल; विपरीत; विकट स्थिति 4.
विषमता से आप क्या समझते हैं यह अपकिरण से किस प्रकार भिन्न है?अपकिरण केंद्रीय स्थान के आसपास वितरण की सीमा का एक उपाय है जबकि तिरछापन एक सांख्यिकीय वितरण में विषमता का एक उपाय है। अपकिरण मुख्य मूल्य से महत्वपूर्ण वितरण को दर्शाता है, जबकि विषमता सममित या विषम श्रृंखला को दर्शाता है। परिक्षेपण में सभी माप धनात्मक होते हैं, जबकि विषमता में सभी माप ऋणात्मक होते हैं।
विषमता का क्या अर्थ है विषमता को कैसे मापा जाता है?विषमता की दिशा तथा परिमाण का माप विभिन्न प्रकार से किया जा सकता है। ... निरपेक्ष माप माना जा सकता है। एक बंटन की विषमता का निरपेक्ष माप, मापन इकाई पर निर्भर होता है। उदाहरण के लिए यदि माध्य = 2.45 मीटर तथा बहुलक = 2.14 मीटर है, तो विषमता Page 3 एक विचर समंकों का संक्षेपण का निरपेक्ष माप 2.45 - 2.14 = 0.31 मीटर होगा।
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