हेलो दोस्तों हमें सवाल दिया गया है कि जांच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या एंड के लिए है संख्या 6 की पावर एंड अन्य पर समाप्त हो सकती है ठीक है इसका मतलब क्या है कोई संख्या 0% कम हो सकती है मगर जिसे जीरो पर समाप्त होने वाली संख्या से लिख दीजिए असली लिख दे दिया एक बार उनके फैक्टर्स में क्या आता है इसका फैक्ट्री होता 2 * 5 इसका फैक्टर क्या होता 2 की पावर सॉरी 1 मिनट में वापस लिखता हूं तो क्या होता है और 25 की पावर 2 और भी मैं जैसे f50 ले लिया 5 जिलों में क्या हो गया 5210 लिख सकते हैं जो सिक्स जीरो ले लिया तो 6210 लिख सकते किसी भी फैक्टर में अगर अंत में जीरो आता है तो उसको 10 जी
बस वैसे मल्टीप्लिकेशन में लिख सकते हैं तो उनमें क्या रिक्रूटमेंट होती है 225 के 2 * 5 के फैक्टर की अखंड की जरूरत होती है उसकी पावन काम गुणांखंड लिखते हैं तो क्या लिख सकते हैं 2 की पावर एंड * 3 की पावर एंड यहां पर दो का गुणांखंड तो आ जाता है लेकिन पांच गुण खंड नहीं आता है 5 गुण 50 के रूप में तू ऐसी क्या कभी भी संख्या का अंतिम अंक कभी भी जीरो नहीं आ सकता ठीक है अगर यहां पर 5 की पावर में एक भी आता तो यह संख्या शून्य पे खत्म हो सकती थी अन्यथा यह संभव नहीं है ठीक है धन्यवाद
हेलो सूरज आज का मारा प्रश्न है जांच कीजिए कि क्या किसी प्राकृतिक संख्या एंड के लिए संख्या 6 घातांक सोने पर समाप्त हो सकती है इसलिए सेंड करते दिखेंगे का अभाज्य गुणनखंड में दिखाते एंड का अभाज्य गुणनखंड ठीक है अभाज्य गुणनखंड तो इसका अभाज्य गुणनखंड जो होगा वह हम पहले पता होता है जो उड़ती ठीक है इसके बावरा लिख देते हैं जैसे किसने लिखा हुआ यहां पर और अगर हम किसी भी प्राकृतिक संख्या को जो कि सूर्य पृथ्वी पर जो भी प्राकृतिक संख्या समाप्त देकर उसका हमेशा ऐसे होता है उसका कोई होता है तो ठीक
है और उसकी खाता संख्या समाप्त समाप्त समाप्त होने वाली थी के होने वाली संख्या का चमचा का अभाज्य गुणनखंड अभाज्य गुणनखंड ठीक है गुणनखंड जो होगा ठीक है वह 2 * 5 ही खाते हैं कि लोग का होगा ठीक है इस ग्रुप का रूप का हमारे पास यहां पर ठीक है चेक आवाज गुणनखंड 2 कुर्ते 3 के पावर दिखा देना यह हम कभी भी नहीं लिख सकते इस तरह से कि किसी प्राकृतिक संख्या
के लिए संख्या से के खाते में जीरो पर समाप्त नहीं हो सकता ठीक है क्योंकि यहां पर हमें पांच नहीं मिल रहा ठीक है फिर कह सकते हैं कि शिकायत संख्या जो भी होगी वह समाप्त नहीं होगी ठीक है पर नहीं थैंक यू
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना ( आर्मी ) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना हैl दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभो में मार्च करना हैl उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वह मार्च कर सकते हैं?
सेना की टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616
आर्मी बैंड में सदस्यों की संख्या = 32
32 और 616 का यूक्लिड विभाजन के साथ HCF निकलने पर
हमें प्राप्त होता है
इसलिए स्तंभों की संख्या 8 होगी
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यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होती हैl
माना a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a बड़ा है b से
तब:
a = bq + r;
जहाँ q और r धनात्मक पूर्णांक है 0 ≤ r < b.
b = 3, रखने पर हमें प्राप्त होता है
a = 3q + r ; जहाँ 0 ≤ r < 3.
⇒ a के अलग-अलग मान है 3q, 3q + 1 or 3q + 2.
3q का घन 3q = (3q)3
= 27q3 = 9(3q3) = 9m ;
जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 1 का घन 3q + 1 = (3q + 1)3
= (3q)3 + 3(3q)2 × 1 + 3(3q) × 12 + (1)3
[∵ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
= 27q3 + 27q2 + 9q + 1
= 9(3q3 + 3q2 + q) + 1
= 9m + 1; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 2 का घन 3q + 2 = (3q + 2)3
= (3q)3 + 3(3q)2 × 2 + 3 × 3q × 22 + 23
= 27q3 + 27q2 + 36q + 8
= 9(3q3 + 3q2 + 4q) + 8 = 9m + 8; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होगाl
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निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन का प्रयोग कीजिए:
(i)135
और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255
(i) बड़े पूर्णांक से शुरू कीजिए अर्थात 225 विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:
अब 135 को भाज्य और 90 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते
हैं:
अब 90 को भाज्य और 45 को भाजक मानकर एक बार फिर विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:
अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई
135 और 225 का HCF 45 हैl
(ii) अब
38220 को भाज्य और 196 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:
अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई
इसलिए 196 और 38220 का HCF 196 हैl
(iii) 867 = 255 x 3 + 102
255 = 102 x 2 + 51
102 = 51 x 2 + 0
अब शेष '0'
रह गया है, इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई और
HCF (867, 255) = 51
जाँच:
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दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ 'q' कोई पूर्णांक हैl
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, और b = 6
माना q भागफल है और r शेषफल हैl
विभाजन अल्गोरिथम का प्रयोग करने पर
हमें प्राप्त होता है:
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यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m
या 3m + 1 के रूप का होता हैl
[ संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक हैl तब, यह 3q, 3q+ 1, या 3q + 2 के लिखा जा सकता हैl इन में से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता हैl ]
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, q भागफल है, r शेषफल है
तब a = bq + r जहाँ q और r भी धनात्मक पूर्णांक है और 0 ≤ r < b
b = 3, हमें प्राप्त होता है
a = 3q + r; जहाँ 0 ≤ r < 3
जब, r = 0 = ⇒ a = 3q
जब, r = 1 = ⇒ a = 3q + 1
जब, r = 2 = ⇒ a = 3q + 2
अब हम यह दर्शाएगें की धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3q, 3q + 1 और 3q + 2 की तरह से लिखा जा सकता है 3m or 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए
⇒ 3q = (3q)2
= 9q2 = 3(3q2) = 3 m जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 1 = (3q + 1)2
= 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2 q) + 1
= 3m +1, जहाँ m कोई पूर्णांक हैl
3q + 2 = (3q + 2)2
= (3q + 2)2
= 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3(3q2 + 4q + 1)+ 1
= 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए
∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप में होता हैl
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