दोस्तों इस प्रश्न हमसे कहा गया है कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सदैव होता है मतलब हमें यह बताना है कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार क्या होता है ठीक है तो उसके लिए हमें चार विकल्प दिए गए हैं पहले विकल्प में हमसे कहा गया कि शांत होता है दूसरे में कहा गया कि आक्रांत होता है तीसरे में कहा गया कि कह नहीं सकते और चौथे में कहा गया है कि इनमें से कोई नहीं ठीक है तो चली मैं आपको बता देता हूं कि जो हमारा कोई भी परिमेय संख्या होती है उसका जो दशमलव प्रसार होता है वह शांत होता है ठीक है इसका मैं आपको एक उदाहरण से समझा देता हूं कि अगर माननीय एक परिमेय संख्या है 7 बटे दो अगर मैं इस का दशमलव प्रसार करता हूं तो इसका दशमलव प्रसार कितना आएगा दशमलव प्रसार आएगा 3.5 तो केवल 1 दशमलव प्रसार है और यह प्रांत ऐसे ही अगर कोई है जैसे कि 5 बटे तीन हो गई नहीं पांच बटे दो हो गई
तो उसका भी दुश्मनों प्रसार हमारा क्या आएगा उसका भी दशमलव प्रसार हमारा आ जाएगा जैसे 2.5 ठीक है ना तो मतलब यह वह संख्याएं जिनका मतलब हमारा जो दशमलव प्रसार होता है वह शांत होता है ठीक है अपरिमेय संख्याओं का मतलब जो हमारा दशमलव प्रसार शांत शांत होता है तो इसका जो उत्तर आएगा वह हो जाएगा हमारा दुर्भाग्य है जो पहला भाग्य विकल्प ए जो है वह इसका उत्तर हो जाएगा जिसमें हमसे कहा गया है कि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार है वह शांत होता है ठीक है धन्यवाद यह प्रस्तुत
हेलो प्रश्न है अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कैसा होता है बस चार ऑप्शन दिया हुआ असांत आवर्ती शांत असांत आवर्ती इनमें से कोई नहीं ठीक है तो सारे ऑप्शन दिए गए सब के बारे में बारी-बारी से समझते हैं दोस्तों असनावर थी जो होता है ना आसान स्थान तना भर्ती अनावृत अशांत अनावत इसका मतलब क्या होता है कि कोई भी संख्या को प्रचार प्रसार के फल स्वरुप दशमलव के बाद जो संख्या 234 125 को किसी पैटर्न कोरी वह किसी खास संख्या को बार-बार रिपीट नहीं करती है पुनरावृति नहीं होती संख्याओं की ठीक है कुछ भी संख्या इससे आगे पता नहीं है कि कौन सी संख्या आएगी और वह संख्याएं अनंत तक जाती है अनंत जाती है तो वह होती है अशांत अनावृत ठीक है उसी को बोलते हैं हमारा भी ऑप्शन है क्या शांत शांत का मतलब होता है कि कोई भी दशमलव के बाद
जो संख्या होती है वह शांत मतलब कि वहां के बाद भागा पूरा-पूरा लग जाता है इसे 0.35 इसके बाद कोई संख्या नहीं है ठीक है यह शांत है कि हमारा प्रशांत आवर्ती आवर्ती का मतलब है कि जैसे हमारा 3.28 और यही संख्या दो इतना जो है ना वह बार-बार रिपीट कर रही है तू 5892 5898 तरह से 2589 इस तरह से यह संख्याएं अनंत जा रही है ठीक है यह हो जाती है असांत आवर्ती यह संख्या वर्ष में एक मतलब की संख्या अपने आप को रिपीट करती है ठीक है पुनरावृत्ति होती है संस्थाओं की होती है और तो इनमें से कोई नहीं है परिमेय संख्याओं का जो प्रसार होता है वह कैसा होता है तुम जानते हैं दोस्तों की परिमेय संख्या जिसका जो प्रसार होता है वह दशमलव के बाद अनंत जाती है और उसमें कोई भी संख्या रिपीट नहीं करते जैसे रूट 3 का मान लेते हैं रिकॉर्डर 1.732 और कुछ कुछ इधर
संख्याएं रिपीट करते हैं जो की अनंत जाती है अनंत जाती तो कोई भी दशमलव के बाद कोई भी ऐसा संख्या नहीं है कोई ऐसा पैटर्न नहीं बनता है संख्या का जो कि आगे जाते आगे कुछ भी हो सकता है किसी को पता नहीं है मतलब कि भाग करके देखना होता है कि क्या आता है हमें से बता नहीं सकते ठीक है तुम्हारा जो हो जाएगा हो जाएगा ठीक हो जाएगा असनावर ठीक हो जाएगा धन्यवाद
हम पहले ही पढ़ चुके हैं कि जिस संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, वह परिमेय संख्या कहलाती हैं। जहाँ p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q ≠ 0। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Rational Number) या तो सांत
दशमलव प्रसार होता है या असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होता है। इस भाग में, हम ठीक से अध्ययन करेंगे और पता लगाएंगे कि एक परिमेय संख्या का सांत दशमलव प्रसार कब होता है और कब यह असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होता है। आइए कई उदाहरणों की मदद से समझते हैं।Parimey Sankhyaon Ka Dashamalav Prasaar
परिचय
विस्तृत व्याख्या
आइए कुछ परिमेय संख्याओं पर विचार करें-
1) 3.75 2) 0.540 3) 14.2680 4) 0.0963 5) 123.2
इन संख्याओं को परिवर्तित करने पर हमें प्राप्त होता है
1) 3.75 = 375/100 = 375/102
2) 0.540 = 540/1000 = 54/100 = 54/102
3) 14.2680 = 142680/10000 = 14268/1000 = 14268/103
4) 0.0963 = 963/10000 = 963/104
5) 123.2 = 1232/10
उपरोक्त उदाहरणों में, सभी परिमेय संख्याओं के हर, 10 की घात के रूप में है। यदि हम इन परिमेय संख्याओं को और अधिक हल करते हैं और अंश का गुणनखंड करते हैं और अंश और हर में समान पदों को रद्द करते हैं तो देखते हैं कि हमें क्या मिलता है।
1) 3.75 = 375/102 = 3×53/(2×5)2 = 3×53/22×52 = 3×5/22
2) 0.540 = 54/102 = 2×33/(2×5)2 = 2×33/22×52 = 33/2×52
3) 14.2680 = 14268/103 = 22×3×29×41/(2×5)3 = 22×3×29×41/23×53 = 3×29×41/2×53
4) 0.0963 = 963/104 = 32×107/(2×5)4 = 32×107/24×54
5) 123.2 = 1232/10 = 24×7×11/2×5 = 23×7×11/5
उपरोक्त उदाहरणों में सभी परिमेय संख्याओं के हरों में एक बात समान है। वह क्या है, आइए पता करते हैं,
उदाहरण 1) में, परिमेय संख्या = 3×5/22, हर = 22 या हम लिख सकते हैं 22×50 [∵ 50= 1]
उदाहरण 2) में, परिमेय संख्या = 33/2×52, हर = 21×52
उदाहरण 3) में, परिमेय संख्या = 3×29×41/2×53, हर = 21×53
उदाहरण 4) में, परिमेय संख्या = 32×107/24×54, हर = 24×54
उदाहरण 5) में, परिमेय संख्या = 23×7×11/5, हर = 5 या हम लिख सकते हैं 20×51
सभी परिमेय संख्याओं में, समान बात यह है कि सभी के हर, 2 की घात या 5 की घात या दोनों के रूप में हैं। हम जानते हैं कि 10 के अभाज्य गुणनखंड 2×5 होते हैं इसलिए 10 की घातों में गुणनखंड के रूप में केवल 2 और 5 की घात हो सकती है। सभी परिमेय संख्याओं के हर 10 की घातों के रूप में होने के कारण हमें गुणनखंड, 2 की घात या 5 की घात या दोनों के रूप में मिलते हैं।
यदि हम और उदाहरण लें जिनके दशमलव प्रसार, सांत दशमलव प्रसार हैं, तो उन संख्याओं को ऐसी परिमेय संख्याओं में व्यक्त किया जा सकता है जिनके हर 2 या 5 की घात में हैं या 10 की घात में हैं। परिमेय संख्याओं के अंश और हर में समान पदों को रद्द करने के बाद, हम पाएंगे कि परिमेय संख्या का हर 2n×5m के रूप में है, जहां n और m ऋणेतर पूर्णांक संख्याएँ हैं।
हम उपरोक्त उदाहरणों के परिणाम को निम्नलिखित प्रमेय के रूप में लिख सकते हैं।
प्रमेय 1) यदि x एक परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है, तो x को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सहअभाज्य संख्याएँ हैं और q का अभाज्य गुणनखंड 2n×5m के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक संख्याएँ हैं।
प्रमेय का विलोम भी सत्य है। आइए उपरोक्त उदाहरणों की सहायता से देखते हैं।
हम उपरोक्त उदाहरणों को उल्टे क्रम में हल करेंगे।
1) 3×5/22 = 15/22 = 15×52/22×52 (अंश और हर को 52 से गुणा करने पर,)
= 15×25/(2×5)2 = 375/(10)2 = 375/100 = 3.75
2) 33/2×52 = 27/2×52 = 27×2/2×2×52 (अंश और हर को 2 से गुणा करने पर,)
= 54/22×52 = 54/(2×5)2 = 54/(10)2 = 54/100 = 0.54 or 0.540
3) 3×29×41/2×53 = 3567/2×53 = 3567×22/2×53×22 (अंश और हर को 22 से गुणा करने पर,)
= 3567×4/23×53 = 14268/(2×5)3 = 14268/(10)3 = 14268/1000 = 14.268 or 14.2680
4) 32×107/24×54 = 963/(2×5)4 = 963/(10)4 = 963/10000 = 0.0963 (हर पहले से ही 10 की घात में है)
5) 23×7×11/5 = 616/5 = 616×2/5×2 (अंश और हर को 2 से गुणा करने पर,)
= 1232/10 = 123.2
उपरोक्त उदाहरणों से, हम कह सकते हैं कि हम p/q (जहाँ q, 2n×5m के रूप का है) रूप की एक परिमेय संख्या को एक समतुल्य परिमेय संख्या में बदल सकते हैं, जिसका हर 10 की घात में है। इसलिए इस प्रकार की परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Rational Number), सांत दशमलव प्रसार होता है। इस परिणाम को हम नीचे दी गई प्रमेय के रूप में लिख सकते हैं।
प्रमेय 2) यदि x, p/q के रूप की एक ऐसी परिमेय संख्या है, कि q का अभाज्य गुणनखंड 2n×5m के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक संख्याएँ हैं, तो x का दशमलव प्रसार, सांत दशमलव प्रसार होता है। अब हम उन परिमेय संख्याओं पर विचार करते हैं जिनके हर 10 की घातों के रूप में या2n×5mके रूप में नहीं हैं। इस प्रकार की परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार, असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होता है।
आइए हम इनमें से कुछ परिमेय संख्याओं पर विचार करें।
1) 1/3 2) 300/37 3) 47/99 4) 7/6
यहाँ, सभी परिमेय संख्याओं के हर 2n×5m के रूप में नहीं हैं, इसलिए हम दशमलव प्रसार प्राप्त करने के लिए, अंश को हर से विभाजित करेंगे।
1) 1/3
2) 300/37
3) 47/99
4) 7/6
प्रत्येक परिमेय संख्या को विभाजित करने के बाद, हमें शेषफल 0 प्राप्त नहीं होता है और विभाजन प्रक्रिया समाप्त नहीं हो रही है और भागफल में अंको की पुनरावृत्ति हो रही हैं इसलिए उपरोक्त सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार, असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होगा।
इसका अर्थ है कि हम कह सकते हैं कि वे परिमेय संख्याएँ जिनके हर 2n×5m के रूप में नहीं होते हैं, उनका दशमलव प्रसार, असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होता है। इस परिणाम को हम प्रमेय के रूप में लिख सकते हैं।
प्रमेय 3) यदि x, p/q के रूप की एक ऐसी परिमेय संख्या है, कि q का अभाज्य गुणनखंड 2n×5m के रूप का नहीं है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक संख्याएँ हैं, तो x का दशमलव प्रसार, असांतआवर्तीदशमलवप्रसार होता है।
नोट – 1) उपरोक्त स्पष्टीकरणों से पता चलता है कि प्रत्येक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत या असांत आवर्ती होता है।
2) यदि कोई ऐसी संख्या है जिसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है तो वह संख्या अपरिमेय संख्याकहलाती है।
कुछ उदाहरण
उदाहरण 1) लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बिना 17/3125 और 77/210 का दशमलव प्रसार लिखिए।
हल – यहाँ, 17/3125 = 17/20×55
हर 3125, 2n×5m के रूप का है, इसलिए, 17/3125 का दशमलव प्रसार सांत है।
अब 77/210 = 77/2×3×5×7
हर 210, 2n×5m के रूप का नहीं है, इसलिए, 77/210 का दशमलव प्रसार, असांत आवर्ती है। उत्तर
उदाहरण 2) दशमलव प्रसार की सहायता से निर्धारित करें कि दी गई संख्याएँ, परिमेय संख्याएँ हैं या अपरिमेय संख्याएँ है।
i) 123.1236289476……. ii) 34.654321 iii) 0.324532453245………..
हल – i) 123.1236289476…….
इस संख्या का दशमलव प्रसार, असांत अनावृत्ति है इसलिए यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है।
ii) 34.654321
इस संख्या का दशमलव प्रसार सांत है इसलिए यह संख्या एक परिमेय संख्या है।
iii) 0.324532453245………..
इस संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है अतः यह संख्या एक परिमेय संख्या है। उत्तर
परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Rational Number) कक्षा 10 अँग्रेजी में
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