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“आयत में सबसे लंबी खींची जाने वाली रेखा आयत का विकर्ण कहलाती है” निम्न चित्र में एक आयत दर्शाया गया है जिसमें लाल रंग की दो रेखाएं खींची गई है यह रेखाए आयत के दोनों सिरो को आपस में मिलाती है जो इसके विकर्ण को दर्शाती हैं
महत्वपूर्ण बिंदुआयत का विकर्ण
आयत का
विकर्ण का सूत्र हम पाइथागोरस परिमेय द्वारा सिद्ध करेंगे निम्न आयत में त्रिभुज BCD एक समकोण त्रिभुज है अतः पाइथागोरस परिमेय के अनुसार
आयत के विकर्ण का सूत्र
कर्ण ２ = आधार ２ + लम्ब２
जहाँ – b = BC = लम्ब DB = विकर्ण DC = आधार आतः इनका मान समीकरण में रखने पर विकर्ण ２ = आधार２ + कर्ण２ विकर्ण２ = a２ + b２
विकर्ण = √(a２ + b２)
प्रश्न उत्तर
- निम्न चित्र में एक आयत दिखाया गया है जिसमे लम्ब या चौड़ाई का मान 4 cm और आधार का मान या चौड़ाई का मान 3 cm है विकर्ण का मान कैसे ज्ञात करे ?
हल
प्रशन में दिया है लम्ब = 4 cm , आधार = 3 cm , विकर्ण = ?
पयिथागोरश प्रमेय के अनुशार — कर्ण ２ = आधार ２ + लम्ब２
या
विकर्ण = √(a２ + b２) = √ ( 4２+ 3２) = √ ( 16+9)
√ (25) = 5 cm
एक आयत की एक भुजा 3 cm , विकर्ण 5 cm है तो दूसरी भुजा क्या होगी ?
हल
लम्बाई (a ) = 3 cm
विकर्ण = 5 cm
चौड़ाई (b ) = ?
विकर्ण = √(a２ + b２)
5 = √ ( 3２+ ?２)
5２ = 3２ + ?２
25 = 9 + ?２
25 – 9 = ?２
16 = ?２
√16 = ?
4 = ?
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विकर्ण (Diagonal) एक सीधी रेखा है जो आयत के एक कोण को उसके विपरीत कोण से जोड़ती है।[१] एक आयत में दो विकर्ण होते हैं, और दोनों की लंबाई एक समान होती है।[२] यदि आपको आयत की लंबाई और चौड़ाई पता है, तो आप आसानी से पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) का इस्तेमाल करके आयत के विकर्ण का माप ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुज (right triangles) में विभाजित करता है। अगर आपको आयत की लंबाई और चौड़ाई नहीं पता है, लेकिन दूसरी जानकारी जैसे आयत का क्षेत्रफल या परिमाप, या लंबाई और चौड़ाई के बीच का संबंध दिया गया है, तो कुछ अतिरिक्त स्टेप्स करने पर आप आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल सकते हैं, और फिर पाइथागोरस प्रमेय की मदद से विकर्ण की लंबाई या चौड़ाई निकाल सकते हैं।
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लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना।
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समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।[५] यह आपको की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
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आयत के क्षेत्रफल निकालने का फार्मुला लिखें: क्षेत्रफल का फार्मुला है, जहाँ आयत का क्षेत्रफल है, आयत की लंबाई, और आयत की चौड़ाई है।[६]
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फार्मुला में आयत के क्षेत्रफल की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: ध्यान रहें आप चर (Variable) के स्थान पर वैल्यू लिख रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका सूत्र इस तरह से होगा:
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फार्मुला को नए क्रम में लिखें, ताकि की वैल्यू निकाल सकें: ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ से भाग दें। इसे ऐसे ही रहने दें। बाद में इस वैल्यू का इस्तेमाल आपको परिमाप निकालते समय करना पड़ेगा।
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आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला लिखें: आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला है, जहाँ आयत की चौड़ाई, और आयत की लंबाई है।[७]
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फार्मुला में सारी वैल्युज़ सबस्टिट्यूट करें: ध्यान रहें आप चर (variable) के लिए वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का परिमाप 24 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा:
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समीकरण के दोनों तरफ 2 से भाग दें: ऐसा करने से की वैल्यू मिलेगी।
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समीकरण में की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: नए सिरे से लिखें क्षेत्रफल के फार्मुला को परिमाप के समीकरण में सबस्टिट्यूट करें।
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समीकरण में भिन्न को काट दें: ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ से गुणा कर लें।
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समीकरण को 0 से इक्वेट करें: ऐसा करने के लिए, जिसकी डिग्री 1 है, उस संख्या को समीकरण के दोनों तरफ से घटा दें।
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समीकरण को उसके घटते घातांक के अनुसार लिखें: इसका अर्थ यह है कि, जिस पद में घातांक है, उसे सबसे पहले लिखें, फिर चर वाला पद (Variable) और आखिर में अचर वाले पद (Constant) को लिखें। समीकरण को क्रमानुसार लिखते समय, ध्यान रहें कि आप उचित धनात्मक (Positive Sign) और ऋणात्मक चिन्ह (Negative Sign) का उपयोग कर रहे हैं। अब आपका समीकरण एक द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के रूप में होना चाहिए।
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द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए।
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की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे। चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो दो मूल आयत की चौड़ाई तथा लंबाई है।
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फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा:
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लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब संख्या को उसी से गुणा करना है।
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समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।[१०] यह आपको की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
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भुजाओं के बीच का संबंध दर्शाते हुए फार्मुला लिखें:[११] आप लंबाई () या चौड़ाई () को अलग करके लिख सकते हैं। इस फार्मुला को लिख लें। आपको इसे बाद में क्षेत्रफल के फार्मुला में सबस्टिट्यूट करना पड़ेगा।
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आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला लिखें: सुनिश्चित कर लें कि आप चर के स्थान पर वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा:
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क्षेत्रफल के फार्मुला में लंबाई (या चौड़ाई) के संबंध वाले सूत्र को सबस्टिट्यूट करें: चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता की आपके सूत्र में चर (Variable) है या है।
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द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) लिखें: ऐसा करने के लिए, साहचर्य गुण (distributive property) का इस्तेमाल करके ब्रैकेट में मौजूद पदों का गुणन करें, फिर समीकरण को 0 से इक्वेट करें।
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द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए।
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की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे।
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लंबाई (या चौड़ाई) की वैल्यू को संबंध दिखाने वाले फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें: इसे हल करने पर आपको आयत की दूसरी तरफ की लंबाई मिलेगी।
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फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा:
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लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना।
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समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।[१६] यह आपको की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
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