ल.स. और म. स. ट्रिक्स, उदाहरण, प्रश्न-उत्तर | लघुत्तम समापवर्तक & महत्तम समापवर्तक
पढ़ें- गणित के महत्वपूर्ण अध्याय ल.स. (LCM) और म.स. (HCF) तथा परीक्षा उपयोगी शार्ट ट्रिक्स, उदाहरण, प्रश्न-उत्तर विस्तार में ल.स. और म.स. निकलने की विधियाँ
ल.स. (LCM) और म.स. (HCF)
बहुत सारे स्टूडेंट्स ल0स0 (LCM) तथा म0स0 (HCF) के प्रश्नों को छोड़ देते हैं क्योंकि उन्हें इन आसान प्रश्नों को हल करने का तरीका याद नहीं रहता ।प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर ही ल0स0 (LCM) तथा म0स0 (HCF) से सवाल पूछेजाते हैं ये सवाल
बेहद आसान होते हैं तथा एक बार अच्छे से समझ लेने पर आपइन्हें मन में ही हल कर सकते हैं, यहां पर हम ल.स. और म. स. के प्रश्न हल करने के लिए विधियाँ और थ्योरी विस्तार में दे रहे हैं जिसको आप एक बार अच्छे से समझ लेंगे तोआप प्रश्न को कुछ ही सेकण्ड्स में आसानी से हल कर सकेंगे और अंत में आपके लिये जो प्रश्न दे रहे हैं ये अक्सर ही प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछेगये हैं,
उम्मीद है आपके लिये उपयोगी सिध्द होंगे -
लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM):
लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) को समझने से पहले अपवर्त्य या गुणज तथा सार्वगुणज या समापवर्त्य को हमें समझना आवश्यक है क्योंकि यह शब्द लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) टॉपिक में कई जगह आएंगे और जब तक इन शदों का गणितीय अर्थ हमें नहीं पता होगा हम लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) को नहीं समझ पाएंगे।
आये जानते है कि अपवर्त्य या गुणज तथा सार्वगुणज या समापवर्त्य क्या हैं ?
अपवर्त्य या गुणज : किसी भी संख्या का अपवर्त्य या गुणज वे संख्याएँ हैं जिनसे उस संख्या में पूरा पूरा भाग लग जाता है
उदाहरण : संख्या 5 के गुणज 5, 10 ,15, 20, 25….. क्योंकि ये सभी संख्याएं 5 से पूर्णतः विभाज्य हैं
सार्वगुणज या समापवर्त्य : दो या दो से अधिक संख्याओं का समापवर्त्य वह संख्या है जो इन संख्याओं में से पूर्णतः विभाज्य हो
उदाहरण संख्याएँ 2,3,5,6,10 एवं 12 का समापवर्त्य 60 है क्योंकि 2,3,5,6,10 एवं 12 में से प्रत्येक से पुरतः भाग लग जाता है
लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) क्या होता है ?
लघुत्तम समापवर्तय / ल.स. (LCM):
परिभाषा : "दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्यवह छोटी से छोटी संख्या है जिसमे दी गयी संख्याओं से पूरा पूरा भाग लग जाताहै.संक्षेप में इसे (LCM)या ल.स.कहते हैं."
मान लीजिये की आपको उस छोटी संख्या के बारे में जानना है जिसमे 2, 3
एवं 4 से भाग लग जाता हो तो अवश्य ही आपका उत्तर 12 होगा और आपका उत्तर ही लघुत्तम समापवर्तक है.
लघुत्तम समापवर्तय / ल.स. (LCM) के महत्त्वपूर्ण तथ्य :
- दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.)उन संख्याओं में उपस्थित सर्वनिष्ठ गुणजो में सबसे छोटा होता है ।
- यदि दो या दो से अधिक संख्याओं में एक संख्या दूसरी संख्या का गुणज हो तो उनमें जो बड़ी संख्या है वह ल.स. होगी।
- दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य, दोनो लगातार प्राकृतिक संख्याओं का गुनाफल होता है ।
- यदि किन्ही दी गयी संख्याओं का आधार सामान और उन संख्याओं का में उपस्थित घात सामान हो तो ऐसी संख्याओं का लस अधिकतम घात वाली संख्या होती है। जैस : 37 35 311 314 315 320 का ल.स. 320 होगा।
लघुत्तम समापवर्तक / [ल.स.] निकलने की विधियाँ :
1. गुणनखंड विधि :- इस विधि में सबसे पहले
संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कर उभयनिष्ठ गुणनखंड को केवल एक बार चुनकर अन्य सभी गुणनखंड को आपस में गुना करने पर आपको हल प्राप्त होता है, जिसे ल.स. भी कहा जाता है .
उदाहरण :- 12, 16, 18 का ल.स.
निकालें.
हल :- 12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
18 = 2 x 3 x 3
ल.स. (12, 16, 18) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144
2. भाग विधि :- इस विधि के लिए सभी संख्याओं को कॉमा (,) लगाकर पंक्तिबद्ध करते है और फिर उन्हें सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिससे कम से कम दो संख्या विभाजित हो से भाग देते है और प्राप्त भागफल को संख्या के नीचे और वो सभी संख्या भी जो विभाजित नहीं हुई हो अगली पंक्ति में लिखते है.
यह प्रक्रिया तब तक दोहराते हैं जब तक की अंतिम पंक्ति में सभी अभाज्य
संख्या न बच जाये.
उदाहरण :- 12, 16, 18 का लघुत्तम निकाले
हल : -
ल.स. = 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 3 = 144
3. समुच्चय विधि
:- इस विधि में सबसे पहले प्रत्येक संख्या का गुणन लिखते है और ऐसा करने के बाद जो गुणन सभी समुच्चय में शामिल हो और सबसे छोटा हो को चुन लेते हैं और यही आपका ल.स. होता है .
उदाहरण :- 12, 16, 18 का ल.स. निकालें.
A = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144,
156, 168, 180 ......}
B = { 16, 32 , 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160 ......}
C = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180 ---}
यहाँ आप देख पा रहे हैं की तीनो समुच्चय में 144 सबसे छोटी संख्या है जो उभयनिष्ठ है. अतः ल.स. = 144
भिन्न का लघुत्तम समापवर्तक (ल.स.) निकालना:
भिन्न का लघुत्तम समापवर्तक (ल.स.) = अंश का लघुत्तम समापवर्तक (ल.स.) / हर का महत्तम समापवर्तक (म. स.)
लघुत्तम समापवर्तक / ल.स. (LCM) की कुछ शार्ट ट्रिक्स :
अगर कोई ल.स. का प्रश्न निम्नलिखित दिए प्रश्नो की तरह दिया हो तो ऐसे ल.स. के प्रश्नो को दी गयी शार्ट ट्रिक्स से बहुत जल्दी हल कर सकते हैं -
महत्तम समापवर्तक अथवा म.स. (HCF):
जिस प्रकार से लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) में अपवर्त्य या गुणज तथा सार्वगुणज या समापवर्त्य का लघुत्तम समापवर्तक अथवा ल.स. (LCM) निकलने के लिए प्रयोग किया जाता है उसी प्रकार महत्तम समापवर्तक अथवा म.स. (HCF) को समझने से पहले गुणनखण्ड या अपवर्तक तथा समापवर्तक को हमें समझना आवश्यक है क्योंकि यह शब्द महत्तम समापवर्तक अथवा म.स. (HCF) टॉपिक में कई जगह आएंगे और जब तक इन शदों का गणितीय अर्थ हमें नहीं पता होगा, हम महत्तम समापवर्तक अथवा म.स. (HCF) को नहीं समझ पाएंगे।
आये जानते है कि गुणनखण्ड या अपवर्तक तथा समापवर्तक क्या हैं ?
गुणनखण्ड या अपवर्तक : किसी भी संख्या का गुणनखण्ड या अपवर्तक वे संख्याएँ हैं जो उस संख्या को पूर्णतः विभाजित करती हैं , प्रत्येक संख्या का गुणनखण्ड है तथा प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणनखण्ड है
45 के गुणनखण्ड:- 1,3,5,9,15,45
समापवर्तक : दो या दो से अधिक संख्याओं का समापवर्तक वह संख्या है जो उन संख्याओं में से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करती हो
उदाहरण : संख्या 3 संख्याओं 9,18,21एवं 27 का समापवर्तक है
महत्तम समापवर्तक अथवा म.स. (HCF) क्या होता है ?
महत्तम समापवर्तक / म.स. (HCF) :
परिभाषा : "वह बड़ी से बड़ी संख्या जो दी हुई संख्याओं को पूर्णतयाविभाजित कर दे संख्या का महत्तम समापवर्तक कहलाता है संक्षेप में इसे(HCF) या म.स. कहते हैं"
उदाहरण : 12,18 और 24 का समापवर्तक 2, 3 एवं 6 है और इनमे सबसे बड़ी संख्या 6 है अतः इनका म.स. = 6 होगा
महत्तम समापवर्तक / म.स. (HCF) के महत्त्वपूर्ण तथ्य :
- दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.) सदैव एक होता है ।
- यदि एक संख्या दूसरी संख्या का गुणनखण्ड हो तो उनमें से जो सबसे छोटी संख्या है वह उनका म.स. होगी ।
- किन्ही दो संख्याओं के योग एवं अंतर का म.स. भी उन संख्याओं के म.स. के बराबर होता है ।
- किन्हीं दो संख्याओं का गुणनफल उन संख्याओं के ल.स. तथा म.स. के गुणनफल के बराबर होता है ।
अर्थात
ल.स. x म.स. = पहली संख्या x दूसरी संख्या
महत्तम समापवर्तक निकलने की विधियाँ :
1. गुणनखंड विधि:- इस विधि में सबसे पहले सभी
संख्या का अभाज्य गुणनखंडनिकला जाता है. इसके बाद उभयनिष्ठ गुणनखंड को लिखा जाता है जो इन संख्या काम.स. होता है.
उदाहरण :- 12,18 और 24 का म.स. निकालें.
हल :- 12 = 2 X 2 X 3
18 = 2 X 3 X 3
24 = 2 X 2 X 2 X 3
म.स. = 2 X 3 = 6
2. भाग विधि:- इस विधि में दी हुई संख्याओं में से सबसे पहले दो संख्याओंका महत्तम समापवर्तक ज्ञात करते है. इस विधि में छोटी संख्या से बड़ी संख्याको भाग देते हैं और जो शेष बचता है उससे छोटी संख्या अर्थात भाजक को भागदेते हैं और फिर जो
शेष बचता है उससे प्रथम शेष को भाग देते है और यहप्रक्रिया दोहराते हैं जब तक की शेष शून्य न बच जाये. अंतिम भाजक ही इनसंख्या का म.स. होगा .
उदाहरण :- 18 और 24 का म.स. निकालें.
हल :-
म.स. = 6
दो संख्याओं का ल.स. और म.स. हमनिम्नलिखित सूत्र से निकाल सकते हैं–
दो संख्या का गुणनफल = ल.स. X म.स.
भिन्न का महत्तम समापवर्तक (म. स.)
निकालना
भिन्न का महत्तम समापवर्तक (म. स.) = अंश का महत्तम समापवर्तक (म. स.) / हर का लघुत्तम समापवर्तक (ल.स.)
महत्तम समापवर्तक / म.स. (HCF) की कुछ शार्ट ट्रिक्स :
अगर कोई म.स. (HCF) का प्रश्न निम्नलिखित दिए प्रश्नो की तरह दिया हो तो ऐसे म.स. (HCF) के प्रश्नो को दी गयी शार्ट ट्रिक्स से बहुत जल्दी हल कर सकते हैं -
यह भी पढ़ें :
विशेष संख्याओं का ल.स. तथा म.स. ज्ञात करने की विधियाँ- ट्रिक्स
ल.स. (LCM) तथा म. स. (HCF) से परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न तथा उनके हल:
प्रश्न: 1. यदि दो संख्या का म.स. और ल.स. क्रमशः 27 एवं 2079 है और उनमे से एक संख्या 189 हो तो दूसरी संख्या निकाले .
हल :- दो संख्या का गुणनफल = ल.स. x
म.स.
189 x p = 2079 x 27
p = 297
प्रश्न: 2. वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो 15, 25, 35 तथा 45 से भाग देने पर क्रमशः 7, 17, 27, तथा 37 शेष बचे
.
(सूत्र :- वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो x, y, z तथा p से भाग देने परक्रमशः a,b, c, तथा d शेष बचे तो संख्या = ल.स.(x, y,z, p) – k जहाँ k = (x-a) = (y-b)= (z-c) = (p-d) )
यहाँ 15- 7 = 8 , 25 – 17 = 8, 35- 27 = 8, 45- 37 = 8
अतः अभीष्ट संख्या = 1575 – 8 = 1567
प्रश्न: 3. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7
शेष बचे .
हल :- (सूत्र :- वह छोटी से छोटी संख्या बताये जो x, y, z तथा p से भागदेने पर प्रत्येक दशा में सामान शेष (k) बचे तो संख्या = ल.स.(x, y,z, p)+ k )
अभीष्ट संख्या = ल.स.(10,20,30,40,50) +7
=
600 + 7 = 607
प्रश्न: 4. चार अंक की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 2, 3, 4, 5, 6 और 7 से पूर्ण रूप से भाज्य हो .
हल :- सबसे पहले हम 2, 3, 4, 5, 6 और 7 का ल.स.
निकालेंगे
ल.स. (2, 3, 4, 5, 6 और 7) = 420
चूँकि हमें 4 अंक की संख्या चाहिए अतः अभीष्ट संख्या अवश्य ही 420 का गुणक होगा.
अभीष्ट संख्या = 420 x 3 = 1260
प्रश्न: 5. छः
घंटिया आरम्भ में एक साथ बजती है. यदि ये घंटिया 2, 4, 6, 8, 10 तथा 12 सेकंड के अन्तराल से बजे तो 30 मिनट में वे कितनी बार एक साथ बजेगी .
हल :- सबसे पहले हम 2, 4, 6, 8, 10 तथा 12 का ल.स. निकालेंगे
ल.स.( 2, 4, 6, 8, 10 तथा 12) = 120 सेकंड = 2 मिनट के बाद एक साथ बजेगी
अतः 30 मिनट में 30/2 + 1 = 16 बार बजेंगी
हल :
सबसे पहले हम 15, 18, 21 तथा 24 का ल.स. से चार अंक की सबसे बड़ी संख्या 9999 में भाग देंगे
और शेष को 9999 में घटा देंगे
ल.स.( 15, 18, 21 तथा 24) = 2520
9999 ÷ 2520 में शेष = 2439
, अतः अभीष्ट संख्या = 9999 – 2439 = 7560
प्रश्न: 6. वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जोकि 926 और 2313 को विभाजित करने पर क्रमशः 2 और 3 शेषफल बचता है?
हल :
अभीष्ट संख्या = 926 - 2 और 2313 - 3 का म. स.
अभीष्ट संख्या = 462
प्रश्न: 8. वह न्यूनतम संख्या क्या है जिसे कि 2,3,4,5,6 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 1,2,3,4,5 प्राप्त हो?
चूँकि (2 -1)=(3-2)=(4-3)=(5-4)=(6-5)
इसलिए अभीष्ट संख्या = 60 - 1 =59 Answer
प्रश्न: 9. दो संख्याओं का गुणनफल 216 है। यदि म.स 6 है, तो इनका ल.स. क्या होगा?
सूत्र दो संख्या का गुणनफल = ल.स. x म.स. से
इसलिए अभीष्ट ल.स. = 216/6 =36
प्रश्न: 11. दो सह अभाज्य संख्या का गुणनफल 117 है, तो उनका ल.स.प. है-
A.9
B.13
C.39
D.117
Answer: D.117
प्रश्न: 12. तीन अंकों की दो संख्याओं का म.स. 29 है और ल.स. 4147 है तो संख्याओं का योग है?
A.696
B.669
C. 966
D.996
Solution / हल:
माना दो संख्यायें 29x और 29y है।
29x × 29y = 29×4147
xy = 143 = 11×13
दो संख्याओं का योग= 29×11+29×13
= 319+377 = 696 Answer
प्रश्न: 13. वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 21, 24 और 28 से विभाजित करने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 2 बचता है।
A.166
B.170
C.168
D.164
Solution / हल:
21, 24 और 28 का ल.स. = 168
इसलिए अभीष्ट संख्या = 168 + 2 = 170 Answer
प्रश्न: 14. दो संख्याओं का म.स. 99 है और उनका ल.स. 2772 है तो संख्याएं हैं -
A.198, 1386
B.396, 693
C.297, 924
D.693, 1108
Solution / हल:
माना संख्याएं 99x और 99y हैं।
99x ×99y = 99 × 2772
xy = 28
xy = 7×4
संख्याएं 99 × 4 और 99 × 7
= 396, 693
प्रश्न: 15. दो संख्यायें 3 : 4 के अनुपात में है। उनका ल.स. 84 है तो बड़ी संख्या है-
A.21
B.24
C.28
D.84
Solution / हल:
Correct Answer C.28
Hint : सूत्र - दो संख्या का गुणनफल = ल.स. x म.स. - से हल करें
12 x =84
x = 7
बड़ी संख्या = 4x=4*7=28
प्रश्न: 16. वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसको यदि 12, 16 और 18 से भाग देने पर शेषफल 5 बचे-
A.146
B.147
C.148
D. 149
Solution / हल:
Correct Answer D.149
12, 16 और 18 का ल.स = 144
इसलिए अभीष्ट संख्या = 144 + 5 = 149 Answer
प्रश्न: 17. वह सबसे छोटी जिसको 16, 18, 20 और 25 से विभाजित करने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 4 बचता है। लेकिन जब 7 से विभाजित किया जाता है तो कोई शेषफल नहीं बचता है -
A.17004
B.18000
C.18002
D.18004
Solution / हल:
Correct Ans:4
प्रश्न: 18. पांच अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 3, 5, 8, 12 से भाग देने पर 2 शेष बचे-
A.99999
B.99958
C.99960
D.99962
Solution / हल:
3, 5, 8, 12का ल.स.प.= 120
सबसे बड़ी पांच अंकों की संख्या = 99999
यदि हम 99999 को 120से भाग देते हैं तो शेषफल 39 है।
अभीष्ट संख्या= 99960+2 = 99962
प्रश्न: 19. अलग-अलग 3 चौराहों पर यातायात लाइट क्रमशः 48 सेकण्ड, 50 सेकण्ड और 72 सेकण्ड के बाद बदल जाती है। यदि वे प्रातः 9 बजे एक साथ बदलें, तो आगे किस समय वे फिर एक साथ बदलेंगी?
A.प्रातः 9.30 बजे
B.प्रातः 10 बजे
C.प्रातः 10.40 बजे
D.प्रातः 11.15 बजे
Solution / हल:
48, 50, 72 का ल.स.प. = 3600
फिर वे एक साथ बदलेंगी = प्रातः 10 बजे
प्रश्न: 20. वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे 17 से बढ़ाया जाए तो वह 520 और 648 दोनों से पूरी तरह विभाजित हो जाती है?
A.4663
B.4680
C.4863
D.4883
Solution / हल:
520 और 468 का ल.स.प. = 4680
अभीष्ट संख्या = 4680 - 17 = 4663
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